Raíz enésima

En matemáticas, la raíz enésima' de un número x es un número r que, cuando subido al poder de n, iguala x

:

donde n es el nivel de la raíz. Se llama una raíz de grado 2 una raíz cuadrada y una raíz del grado 3, una raíz cúbica. Las raíces del grado más alto se mandan a la utilización de números ordinales, como en cuarta raíz, veinte raíz, etc.

Por ejemplo:

  • 2 es una raíz cuadrada de 4, desde 2 = 4.
  • 2 también es una raíz cuadrada de 4, desde (−2) = 4.

Un número real o el número complejo tienen raíces n del grado n. Mientras las raíces de 0 no son distintas (toda la igualación 0), las raíces enésimas n de cualquier otro número complejo o real son todos distintas. Si n es hasta y el número es verdadero y positivo, una de sus raíces enésimas es positiva, uno es negativo, y el resto son complejos, pero no verdaderos; si n es hasta y el número es verdadero y negativo, ninguna de las raíces enésimas es verdadera. Si n es raro y el número es verdadero, una raíz enésima es verdadera y tiene el mismo signo que el número, mientras las otras raíces no son verdaderas.

Las raíces por lo general se escriben usando el símbolo radical o, con o denotando la raíz cuadrada, denotando la raíz cúbica, denotando la cuarta raíz, etcétera. En la expresión, el n se llama el índice, es el signo de raíz, y x se llama el radicand. Cuando un número se presenta bajo el símbolo radical, debe devolver sólo un resultado como una función, por tanto una verdadera raíz no negativa, llamada la raíz enésima principal, se prefiere, más bien que otros. Una raíz no resuelta, sobre todo una utilización del símbolo radical, a menudo se refiere como un número sordo o un radical. Cualquier expresión que contiene a un radical, si es una raíz cuadrada, una raíz cúbica o una raíz más alta, se llama una expresión radical.

En el cálculo, las raíces se tratan como casos especiales de exponentiation, donde el exponente es una fracción:

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Las raíces son particularmente importantes en la teoría de la serie infinita; la prueba de la raíz determina el radio de convergencia de una serie de poder. Las raíces enésimas también se pueden definir para números complejos, y las raíces complejas de 1 (las raíces de la unidad) juegan un papel importante en matemáticas más altas. La teoría de Galois puede ser usada para determinar qué números algebraicos se pueden expresar usando raíces, y demostrar el teorema de Abel-Ruffini, que declara que una ecuación polinomia general del grado cinco o más alto no se puede solucionar usando raíces solas; este resultado también se conoce como "la insolubilidad del quintic".

Historia

El origen del símbolo de la raíz √ es en gran parte especulativo. Algunas fuentes implican que el símbolo fue usado primero por matemáticos árabes. Uno de aquellos matemáticos era al-Hasan ibn Abū Alī al-Qalasādī (1421–1486). La leyenda lo tiene que se tomó de la carta árabe ج, que es la primera carta en la palabra Jadhir "raíz" en árabe. (El dh en Jadhir es una fricativa interdental sonora, como el th en inglés el.) Muchos eruditos, sin embargo, incluso Leonhard Euler creen que proviene de la carta r, la primera carta de la raíz "raíz" en la palabra latina que se refiere a la misma operación matemática. El símbolo se vio primero en la letra sin el vinculum (la "barra" horizontal sobre los números dentro del símbolo radical) en el año 1525 en Mueren Coss por Christoff Rudolff, un matemático alemán.

El término el número sordo se remonta a al-Khwārizmī (c. 825), quien se refirió a racional y números irracionales como audibles e inaudibles, respectivamente. Esto más tarde llevó a asamm árabe (sordo, mudo) para el número irracional traducido como surdus (sordo o mudo) a latín. Gherardo de Cremona (c. 1150), Fibonacci (1202) y luego Robert Recorde (1551) todos usaron el término para referirse a números irracionales no resueltos.

Definición y nota

La raíz enésima' de un número x, donde n es un número entero positivo, es un número r cuyo poder enésimo es x:

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Cada número real positivo x tiene una raíz enésima positiva sola, que se escribe. Para el n igual a 2 esto se llama la raíz cuadrada y el n se omite. La raíz enésima también se puede representar usando exponentiation como x.

Para hasta valores de n, los números positivos también tienen una raíz enésima negativa, mientras los números negativos no tienen una verdadera raíz enésima. Para valores raros de n, cada número negativo x tiene una verdadera raíz enésima negativa. Por ejemplo, 2 tiene una verdadera 5ta raíz, pero 2 no tiene verdadera 6ta raíz.

Cada número x distinto a cero, verdadero o complejo, tiene el número complejo diferente n raíces enésimas incluso cualquier raíz positiva o negativa, ver raíces complejas abajo. La raíz enésima de 0 es 0.

Para la mayor parte de números, una raíz enésima es irracional. Por ejemplo,

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Todas las raíces enésimas de números enteros, o de hecho de cualquier número algebraico, son algebraicas.

Para la extensión de poderes y raíces a índices que no son números enteros positivos, ver exponentiation.

Los códigos de carácter para los símbolos radicales son

Raíces cuadradas

La raíz cuadrada de un número x es que el número r que, cuando cuadrado, se hace x:

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Cada número real positivo tiene dos raíces cuadradas, una positiva y una negativa. Por ejemplo, las dos raíces cuadradas de 25 son 5 y 5. La raíz cuadrada positiva también se conoce como la raíz cuadrada principal y se denota con un signo de raíz:

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Ya que el cuadrado de cada número real es un número real positivo, los números negativos no tienen verdaderas raíces cuadradas. Sin embargo, cada número negativo tiene dos raíces cuadradas imaginarias. Por ejemplo, las raíces cuadradas de 25 son 5i y 5i, donde represento una raíz cuadrada de 1.

Raíces cúbicas

Una raíz cúbica de un número x es un número r cuyo cubo es x:

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Cada número real x tiene exactamente una verdadera raíz cúbica, escrita. Por ejemplo,

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Cada número real tiene dos raíces cúbicas complejas adicionales (ver raíces complejas abajo).

Identidades y propiedades

Cada número real positivo tiene una raíz enésima positiva y las reglas para operaciones con tales números sordos son francas:

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La utilización de la forma del exponente como en normalmente hace más fácil anular poderes y raíces.

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Los problemas pueden ocurrir tomando las raíces enésimas de números complejos o negativos. Por ejemplo:

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mientras que

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tomando el valor principal de las raíces. Ver el fracaso de poder e identidades del logaritmo en el artículo exponentiation para más detalles.

Forma simplificada de una expresión radical

Se dice que una expresión radical está en la forma simplificada si

  1. No hay ningún factor del radicand que se puede escribir como un poder mayor que o igual al índice.
  2. No hay ningunas fracciones bajo el signo de raíz.
  3. No hay ningunos radicales en el denominador.

Por ejemplo, para escribir la expresión radical en la forma simplificada, podemos seguir así. En primer lugar, busque un cuadrado perfecto bajo la raíz cuadrada lo firman y quitan:

:

Después, hay una fracción bajo el signo de raíz, que cambiamos así:

:

Finalmente, quitamos al radical del denominador así:

:

Cuando hay un denominador que implica números sordos puede ser posible encontrar un factor multiplicando tanto el numerador como el denominador por simplificar la expresión. Por ejemplo usando el factorization de la suma de dos cubos:

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La simplificación de la implicación de expresiones radical anidó los radicales pueden ser completamente difíciles. No es inmediatamente obvio por ejemplo que:

:

Serie infinita

El radical o la raíz pueden ser representados por la serie infinita:

:

¡

(1+x) ^ {s/t} = \sum_ {n=0} ^\\infty \frac {\\prod_ {k=0} ^ {n-1} (s-kt)} {n! t^n} x^n

</matemáticas>

con

Raíces principales de calcular

La raíz enésima de un número entero es no siempre un número entero, y si no es un número entero entonces no es un número racional. Por ejemplo, la quinta raíz de 34 es

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donde los puntos significan que la expresión decimal no termina después de ningún número finito de dígitos. Desde en este ejemplo los dígitos después del decimal nunca entran en un modelo que repite, el número es irracional.

La raíz enésima de un número A puede ser calculada por el algoritmo de la raíz enésimo, un caso especial del método de Newton. Comience con una conjetura inicial x y luego itere la utilización de la relación de la repetición

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hasta que la precisión deseada se alcance.

Según la aplicación, puede ser bastante sólo usar a primer Newton approximant:

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Por ejemplo, para encontrar la quinta raíz de 34, note que 2 = 32 y así toman x = 32 y y = 2 en la susodicha fórmula. Esto cede

:

El error en la aproximación es sólo aproximadamente el 0.03%.

El método de Newton se puede ampliar para producir una fracción continuada generalizada para la raíz enésima que se puede modificar de varios modos como descrito en ese artículo. Por ejemplo:

\sqrt [n] {z^m} = \sqrt [n] {(X^n+y) ^m} = X^m +\cfrac {mi} {Nx^ {n-m} + \cfrac {(n-m) y} {2x^m +\cfrac {(n+m) y} {3nx^ {n-m} + \cfrac {(2n-m) y} {2x^m +\cfrac {(2n+m) y} {5nx^ {n-m} + \cfrac {(3n-m) y} {2x^m +\ddots}}}}}};

</matemáticas>

\sqrt [n] {z^m} =x^m +\cfrac {2x^m\cdot mi} {n (2z - y) - mi-\cfrac {(1^2n^2-m^2) y^2} {3n (2z - y)-\cfrac {(2^2n^2-m^2) y^2} {5n (2z - y)-\cfrac {(3^2n^2-m^2) y^2} {7n (2z - y)-\ddots}}}}.

</matemáticas>

En caso de la quinta raíz de 34 encima (después de que repartir seleccionó comunes divisores):

\sqrt [5] {34} = 2 +\cfrac {1} {40 +\cfrac {4} {4 +\cfrac {6} {120 +\cfrac {9} {4 +\cfrac {11} {200 +\cfrac {14} {4 +\ddots}}}}} }\

2 +\cfrac {4\cdot 1} {165-1-\cfrac {4\cdot 6} {495-\cfrac {9\cdot 11} {825-\cfrac {14\cdot 16} {1155-\ddots}}}}.

</matemáticas>

Raíces complejas

Cada número complejo además de 0 tiene raíces enésimas diferentes n.

Raíces cuadradas

Las dos raíces cuadradas de un número complejo siempre son negativas el uno del otro. Por ejemplo, las raíces cuadradas de 4 son 2i y 2i y las raíces cuadradas de soy

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Si expresamos un número complejo en la forma polar, entonces la raíz cuadrada se puede obtener tomando la raíz cuadrada del radio y partiendo por la mitad el ángulo:

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Una raíz principal de un número complejo se puede elegir de varios modos, por ejemplo

:

que introduce una reducción de la rama en el avión complejo a lo largo del verdadero eje positivo con la condición 0 ≤ θ mapas a la mitad de avión con (la verdadera) parte imaginaria no negativa. La última rama cortó se presupone en el software matemático como Matlab o Scilab.

Raíces de unidad

El número 1 tiene raíces enésimas diferentes n en el avión complejo, a saber

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donde

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Estas raíces son regularmente espaciadas alrededor del círculo de la unidad en el avión complejo, en ángulos que son múltiplos de. Por ejemplo, las raíces cuadradas de la unidad son 1 y &minus;1, y las cuartas raíces de la unidad son 1, &minus;1, y.

raíces enésimas

Cada número complejo tiene raíces enésimas diferentes n en el avión complejo. Éste es

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donde η es una raíz enésima sola, y 1, ω, ω... Los ω son las raíces enésimas de la unidad. Por ejemplo, las cuatro cuartas raíces diferentes de 2 son

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En la forma polar, una raíz enésima sola puede ser encontrada por la fórmula

:

Aquí el r es la magnitud (el módulo, también llamado el valor absoluto) del número cuya raíz se debe tomar; si el número se puede escribir como a+bi entonces. También, es el ángulo formado como pivotes en el origen en contrario del eje horizontal positivo a un rayo que va del origen al número; tiene las propiedades esto y

Así el descubrimiento de raíces enésimas en el avión complejo se puede segmentar en dos pasos. En primer lugar, la magnitud de todas las raíces enésimas es la raíz enésima de la magnitud del número original. En segundo lugar, la dirección de un rayo del origen a una de las raíces enésimas implica un ángulo con relación al eje horizontal positivo que es tiempos 1/n el ángulo de un rayo del origen al número original con relación al eje horizontal positivo. Además, todos n de las raíces enésimas están en ángulos igualmente espaciados el uno del otro.

Como con raíces cuadradas, la fórmula encima no se puede aplicar consecuentemente al avión complejo entero, pero en cambio lleva a una reducción de la rama a los puntos donde θ / n de repente "brinca".

Solución de polinomios

Se creyó una vez que todas las raíces de polinomios se podrían expresar en términos de radicales y operaciones elementales; sin embargo, mientras esto es verdad para terceros polinomios del grado (cubics) y cuartos polinomios del grado (quartics), el teorema de Abel-Ruffini (1824) espectáculos que esto no es verdad en general cuando el grado es 5 o mayor. Por ejemplo, las soluciones de la ecuación

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no se puede expresar en términos de radicales. (cf. quintic ecuación)

Para solucionar cualquier ecuación del grado enésimo numéricamente, obtener un resultado que está arbitrariamente cerca de ser exacto, ver el algoritmo que encuentra la Raíz.

Véase también

Enlaces externos


Santiago, Cuba / Thou
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